matematicas

Determinantes de sist 2x2

Escrito por teamodavid 25-11-2009 en General. Comentarios (0)

Con cada par de acuaciones lieneales se asociian tres arreglos numericos llamados determinantes, que constan de renglones y columnas.

El determinante alpha del sistema se determina por los coeficientes x,y

 

sistema                    determinante del sistema

3x+y=5                        

4x+2y=8             alpha= {3  1}

                                      {4  2}

 

Sustiituyendo aquii los coefiicientes de x por la columna se termiinos constantes se escribe el determinante se x,igual para y

 

 

alpha x={5  1}                        alpha y={3  5}

             {8  2}                                     {4  8}

 

Cada uno de estos arreglos tiienen valor para obtenerlo se resta a la multiplicacion descendente el de la diagonal ascendente

 

 

alpha = {3  1} =3(2) - 4(1)=2

            {4  2}

 

alpha x= {5  1}=5(2) - 8(1)=2

              {8  2}

 

alpha y={3  6}=3(8) - 4(5)=4

             {4  8}

 

Dividiendo el determinante de cada variable entre el determiante del sistema

 

x= alpha x= 2 = 1               y=alpha y =4 =2                  (1,2)

     alpha      2                        alpha      2

 

ejemplos    

 

soluciion:(-5,5)

x+y=-2                            alpha= {1    1}= (1)(4)- (-1)(1)=5

-x+4y=17                                   {-1  4}

                                      

  x=-25  =-5                     alpha x ={-2  1}=(-2)(4)- (1)(17)=-25

         15                                           {-1  4}

                                         

    y=15 =5                         alpha y ={1   -2}= (1)(17)-(-2)(-1)=15

        5                                             {-1  17}

 

 

 

 

 

 

funciiones y ecuaciiones liineales

Escrito por teamodavid 25-11-2009 en General. Comentarios (0)

la ecuaciion liineal ax+b=0 deriva de la funcion liineal y=ax+b en la ecuacion lineal existen 2 variables

funciion lineal                    valor de x                    produce un valor de y

y=2x+3                                 1                                     y=2(1)+3

                                                                                    y=5

 

para cada valor de x la funcion de y=ax+b su grafica es una recta produce un solo valor de y

 

tambien se puede obtener el valor de x que corresponde a un valor especifico de y.

funcion            velores de y      ecuacion     valor x         pareja

y=2x+3                -1                -1=2x+3         x=2            (2,-1)

 

ejemplos

asignar valores a x

 

x     y                  y=-x-2              y=0-2

-3   1                   y=-(3)-2           y=-2

 0  -2                  y=3-2               y=-1-2

 1  -3                   y=1                    y=-3

 

 

 

Soluciion de siistemas liineales 2x2

Escrito por teamodavid 25-11-2009 en General. Comentarios (0)

aexiisten 3 tiipos de transformaciiones algebraiicas:

 

*Suma y resta:

 

Los termiinos deben ser siimetriicos

 5x+2y=-1 ec.1

 -5x+y=7  ec.2

 

se realiiza la suma de la ecuaciion y se saca el valor de y o de x

 

5x+2y=-1

-5x+y=7   

    +3y=6

        y=6

           3

        y=2

 se sustiituye el valor obtenido

  5x + 2(2)=-1

   5x+4=-1

      5x=-1-4

       x=-5

            5

        x=-1

 

ejemplos:

 

 

4x+2y=6                      4x+2y=6                        sustiituciion:  

2x-5y=-9 .... (2)        -4x+10y=18                       4x+2(2)=6

                                          12y=24                         4x+4=6

soluciion: (2,2)                     y=24                          4x=6-4

                                                 12                              x=2

                                             y=2                                    4

                                                                                     x=2

 

x+y=74                          x+y=74                       sustiituciion

x-y=16 ....(1)                  -x+y=-16                     x+(29)=74

                                          2y=58                            x=74-29

soluciion:(45,29)                   y=58                              x=45

                                                 2

                                              y=29

 

3r+2t=17                         3r+2t=17                  3(6)+2t=17

r+2t=5...(1)                       -r-2t=-5                     18+2t=17

                                         -2r    =-12                        2t=17-18

 soluciion:(6,-1)                         r=-12                         t=-1

                                                      -2                              2

                                                   r=6                             t=-1

 

3x+4y=45 ...(2)                -6x-8y=-90           sustiituciion                          

6x-2y=30                          6x-2y=30                 3x+4(-6)=45

                                                10y=-60                 3x-24=45

soluciion:(23,-6)                          y=-60                       3x=45+24

                                                          10                          x=69

                                                     y=-6                                 3

                                                                                          x=23

 

3w+8z=158                   3w+8z=158              sustiituciion:

7w+8z=230....(1)         -7w-8z=230                3(18)+8z=158

                                      -4w    =-72                 54+8z=158

soluciion:(18,13)                     w=-72                       8z=158-54

                                                    -4                          z=104

                                               w=18                               8

                                                                                   z=13

 

*Sustiituciion:

 

5x-3y=35  ec.1

y=-x-1    ec.2

 

 De la ecuaciion 2 se sustiituye en la 1

 

5x-3(-x-1)=35

 

Una variiable de una acuaciion despejada se sustiituye en la otra

 

5x+3x+3=35

      8x+3=35

            8x=35-3

              x=32

                   8

               x=4

 

se sustiituye el valor de x  (4) en la ecuaciion 2

   

 y=-x-1

 y=-4-1                  soluciion:(4,-5)

 y=-4

 

 

ejemplos:

 

x+2y=5                     3y+2y=5            x=3(1)              

x=3y                               5y=5             x=3

                                         y=5

soluciion:(3,1)                      5

                                          y=1

 

3r-t=20                  despeje: r=2+t

r-t=2

                                 sustiituciion:                     r=2+7

soluciion:(9,7)              3(2+t)-t=20                     r=9

                                      6+3t-t=20

                                              -2t=20-6

                                                  t=-14 

                                                       -2

                                                    t=7

 

3x+2y=33               Despeje: -8+2x               y=-8+2(7)  

y-2x=-8                   sustiituciion:                     y=-8+14

                                  3x+2(-8+2x)=33            y=6

soluciion:(7,6)               3x-16+4x=33

                                          -16+7x=33

                                                  7x=33+16

                                                    x=49

                                                        7

                                                     x=7  

x+4y=3                         Despeje:x=3-4y        x=3-4(1)

2x-3y=17                     Sustiituciion                 x=3-4

                                    2(3-4y)-3y=17             x=-1

soluciion:(-1,1)                  6-8y-3y=17

                                          11y = 17-6

                                                y=11

                                                    11

                                                y=1

 

x+2y=8                     Despeje: x=8-2y               x=8-2(1)

2x+y=7                    Sustiituciion:                       x=8-2

                                 2(8-2y)+y=7                      x=6

soluciion:(6,1)              4-4y+y=7

                                      4-3y=7

                                     -3y=7-4

                                          y=3

                                              3

                                           y=1

 

*Iigualaciion:

 

y=6x+12  ec.1

y=2x+8    ec.2

 

iigualar ecuaciion 1 y 2

 

6x+12=2x+8

 

 se colocan termiinos semejantes y se despeja x

 

ex-2x=8-12

     4x=-4

      x=-4

           4

 x=-1

 

sustiituir x en la ecuaciion

 y=2(-1)+8

y=-2+8            soluciion:(-1,6)

y=6

 

ejemplos:

        

                  Despeje de x               iigualaciion

x+3y+7=0           x=-3y-7                        -3y-7=y-7 

2x-y+7=0           x=y-7                                         2

                                2  

soluciion:(-4,-1)                 2(-3y-7)=y-7     x=-3y-79

                                            -6y-14=y-7        x=-3(-1)-7

                                            -6y-y=-7+14      x=3-7

                                               -7y=7              x=-4

                                                  y=7

                                                    -7

                                                  y=-1

 

2x+2y=-6                     Despeje de x:                igualacion:

x-3y=5                        x=3y-5                          3y-5=-2y+6

                                    x=-2y+6                                     2

                                            2

                                                    2(3y-5)=-2y+6      x=3(2)-5

 soluciion:( 1,2)                                   6y-10=-2y+6        x=6-5

                                                      6y+2y=6+10         x=1

                                                          8y=16

                                                            y=16

                                                                8

                                                           y=2

 

x=-4y                    igualaciion                           -4y  -  -2y =+  1

x=-2 y+1               -4y =-2y  + 1                          1          3        1

     3                       1       3       1

                                                                              -  14 y=  1

                                                                                  3        1

                         Operaciion:                                           y= /14

                         -4  + -2  = (-12)(+2)=-14                          1 /   3

                          1        3            3         3             

                                                                                        y=3

                       Sustiituciion                                                 14

                         x=(-4 ) (3)   =12

                                (1)  (14)   14

 

soluciion: -12   3

                 14, 14

                                         

 

                                                             

    

 

factorizar

Escrito por teamodavid 19-10-2009 en General. Comentarios (0)

En álgebra, la factorizaciónes expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, unamatriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores),(en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, almultiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, elnúmero 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza como binomio conjugados (a - b)(a + b).

La factorización de enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética y la factorización de polinomios (en ciertos contextos) en el teorema fundamental del álgebra.

factor comun:

Factor común monomio 

Factor común por agrupacion de términos

ab + ac + ad  =  a ( b + c + d) \,
ax + bx + ay + by  = a (x+y) + b (x+y) = (x+y)(a + b ) \,

Factor común polinomio 

Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes juntocon el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma encuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino condos.

un ejemplo:

 5x2(x-y) + 3x(x-y) +7(x-y) \,

Se aprecia claramente que se esta repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:

 (5x2 + 3x +7) \,

La respuesta es:

 (x -y)(5x2 + 3x +7) \,

En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:

 5a2(3a+b) +3a +b \,

Se puede utilizar como:

 5a2(3a+b) + 1(3a+b) \,

Entonces la respuesta es:

 (3a+b) (5a2+1) \,

Caso II - Factor común por agrupación de términos 

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe teneren cuenta que son dos características las que se repiten. Se identificaporque es un número par de términos. Para resolverlo, se agrupan cadauna de las características, y se le aplica el primer caso, es decir:

ab+ac+bd+dc = (ab+ac)+(bd+dc)\,
= a(b+c)+d(b+c)\,
= (a+d) (b+c)\,

Un ejemplo numerico puede ser:

2y + 2j +3xy + 3xj\,

entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:

= (2y+2j)+(3xy+3xj)\,

Aplicamos el primer caso (Factor común)

Trinomio cuadrado perfecto

Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienenraíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto delas raíces del primero por el segundo. Para solucionar un T.C.P.debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero lostérminos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada delprimer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolospor el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesiselevamos todo el binomio al cuadrado.

(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\,

y

(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\,


Ejemplo 1:

(5x-3y)^2 = 25x^2-30xy+9y^2\,

Ejemplo 2:

(3x+2y)^2 = 9x^2+12xy+4y^2\,

Ejemplo 3:

(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2\,

Ejemplo 4:

4x^2+25y^2-20xy\,

Organizando los términos tenemos

4x^2 - 20xy + 25y^2\,

Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término yagrupándolos en un paréntesis separados por el signo del segundotérmino y elevando al cuadrado nos queda:

(2x - 5y)^2\,

Diferencia de cuadrados 

Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidospor el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecidoa los productos de la forma (a-b)(a+b), uno negativo y otro positivo.

(ay)^2-(bx)^2=(ay-bx)(ay+bx)\,

O en una forma mas general para exponentes pares:

(ay)^{2n}-(bx)^{2m}=((ay)^n-(bx)^m)((ay)^n+(bx)^m)\,

Y utilizando una productoria podemos definir una factorizacion para cualquier exponente, el resultado nos da r+1 factores.

(ay)^n-(bx)^m=((ay)^{n/{2^r}}-(bx)^{m/{2^r}})\cdot \prod_{i=1}^{r} ((ay)^{n/{2^i}}+(bx)^{m/{2^i}})  \,

Ejemplo 1:

9y^2-4x^2=(3y)^2-(2x)^2=(3y+2x)(3y-2x)\,

Potencia

Escrito por teamodavid 18-10-2009 en General. Comentarios (0)

La potenciación no es una operación matemática,es una ley que se nota como an, y que se lee "a elevado a n", que involucra dos números: la base a y el exponente n. Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente:

  • Cuando el exponente es un número natural, la potenciación corresponde a una multiplicación de varios factores iguales: el exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma. Por ejemplo:  2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16 . En general:
a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_n,
  • cuando el exponente es un entero negativo -p, una potencia quetenga exponente negativo es el resultado de elevar la fracción inversade la base 1/a al exponente positivo p.
a^{-p}= \frac{1}{a^p}
  • cuando el exponente es una fracción irreducible m/n, se define
 a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n}

La definición de potenciación puede extenderse a exponentes reales, complejos o incluso matriciales.

Como caso especial, destacar que cualquier número (salvo el 0) elevado a 0 da 1. El caso particular de 00, en principio, no está definido (ver en Cero). Sin embargo, también se puede definir como 1 si nos atenemos a la idea de producto vacío o simplemente por analogía con el resto de números.

Propiedad operativa de los exponentes.

Producto y cosiente.